Общее уравнение прямой в плоскости.

Предыдущая12345678910111213141516Следующая

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат .

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1.Если прямая принадлежит плоскости , то уравнение этой прямой в данной системе координат имеет вид

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. И наоборот. Всякое уравнение (1), в котором хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, в некоторой системе координат определяет прямую.

Уравнение (4) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Доказательство. Пусть – произвольная прямая плоскости – её направляющий вектор, – произвольная точка прямой . Тогда параметрические уравнения этой прямой имеют вид:

.

Умножая первое уравнение на , а второе на , а затем вычитая из первого равенства второе, получим или

. (5)

Обозначая , запишем уравнение (5) в виде

Следовательно, уравнение прямой имеет вид уравнения (4). При этом вектор является направляющим вектором прямой , по этому координаты не могут одновременно равняться нулю, следовательно, хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Докажем теперь обратное. Пусть дано уравнение (4). Ниже мы покажем, что существует некоторая прямая в плоскости такая, что координаты точек, лежащих на прямой и только они будут удовлетворять уравнению (4).

Рассмотрим систему уравнений, состоящую из одного уравнения

(6)

По условию , по этому, система из одного уравнения с неизвестными имеет бесконечное множество решений. Пусть и - два различных решения уравнения (3). Т.е.

Вычитая из второго тождества первое, получим

Рассмотрим два вектора и , где Тогда равенство (8) можно записать в виде

. (9)

Из равенства (9), в частности следует, что векторы и ортогональны.

Рассмотрим в плоскости точки и Покажем, что координаты любой точки прямой, проходящей через точки и только они удовлетворяют уравнению (4).

Пусть - произвольная точка плоскости. Очевидно, что точка лежит на прямой тогда и только тогда, когда вектор коллинеарен вектору , т.е когда вектор ортогонален вектору . Следовательно точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда выполнено равенство

. (10)

Т.к. , то равенство (10) можно записать в виде:

Из первого равенства равенств (7) следует, что . Учитывая это в равенстве (11), получим .

Следовательно, координаты точек прямой и только они удовлетворяют уравнению (4).

Любой ненулевой вектор, ортогональный к заданной прямой, называется нормальным вектором этой прямой.

Замечание.Из доказательства теоремы 2.1 следует, что вектор является одним из нормальных векторов прямой, определяемой уравнением .


7431202740443747.html
7431256603415361.html
    PR.RU™